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Lineare Funktionen - Schnittpunkt

f1(x) = m1 · x + b1 und f2(x) = m2 · x + b2

Soll man den Schnittpunkt von zwei Geraden bestimmen, ist jedem klar, dass man die Funktionsgleichungen gleichsetzen muss.
So genau erklären warum kann ein Schüler normalerweise nicht. Irgendwie sind die da eben gleich, die Geraden.

Gesucht ist genaugenommen das x, bei dem die Funktionswerte beider Geraden identisch sind, denn das bedeutet, dass die Punkte der Geraden an der Stelle übereinstimmen.
Für dieses x muss also gelten:

  f1(x) = f2(x) Gern und formal schöner auch f1(xs) = f2(xs)

Ergebnis - eleganter:
xs = (b2 - b1) : (m1 - m2 )
ys = f1/2(xs) und S(xs;ys)
<=>   m1 · x + b1 = m2 · x + b2
<=>  

m1 · x - m 2 · x = b2 - b1

<=> (m1 - m2 ) · x = b2 - b1
<=> x = (b2 - b1) : (m1 - m2 )

Die Scherzkekse unter den Schülern behaupten an dieser Stelle oft, das sei der Schnittpunkt.
Es muss aber auch noch der beiden Funktionen gemeinsame Funktionswert bestimmt werden. Theoretisch ist es egal, welche der beiden Funktionen man hierzu verwendet.
(Praktisch oft nicht, da Rechenfehler gern vorkommen)

Beispiel

Drücken wir uns nicht um ein Beispiel:

f1(x) = -3 · x + 18
f2(x) = 1,5 · x - 45

  f1(x) = f2(x)   
<=>   -3 · x + 18 = 1,5 · x - 45 | - 1,5 x
<=>  

-4,5 · x + 18 = -45

| - 18
<=>  

-4,5 · x = -63

| : (- 4,5)
<=> x = 14  
  einsetzen in f1  
  f1(14) = -3 · 14 + 18 = -24  
  (Probe: f2(14) = 1,5 · 14 - 45 = -24)  
also:   S ( 14 ; -24 )  
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Präzision!!!
Ich benutze die Begriffe Gerade, lineare Funktion und Geradengleichung in der Tat etwas nachlässig.

Seis drum.
Hilfen

Javascriptseite; Eingabe der m/b von zwei Geraden liefert den Schnittpunkt.

Tabellenkalkulation;
*.xls (Micro$oft, 29k) ..
(simpel, mit Skizze)

Aufgaben
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Bemerkung zur Nullstelle

Die Nullstelle ist natürlich einerseits der x-Wert (Stelle), an der der y-Wert einer Funktion =0 ist.
Eigentlich ist das, was man im KOS sieht ein Punkt, nämlich der Schnittpunkt der Funktion f mit der x-Achse.

Der Ansatz ist also hier

f1(x) = m · x + b; f2(x) = 0 (die x-Achse)  
  f1(x) = f2(x)  
<=>  

m · x + b = 0

 
<=>  

x = - (b/m)

 
    
der bekannte Ansatz
 
nix
echt
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l.up: 05.01.2003 Quelle: service.aabdahl.de