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| Lineare Funktionen - Die Gleichung |
f(x) = m · x + b
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| Zunächst gilt:
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Eine Funktion f heißt lineare Funktion
<=> die Funktionsgleichung lautet f(x)
= m · x + b
Der Funktionsgraph einer linearen Funktion heißt
Gerade. |
Bemerkungen:
- m: Steigung
- b: y-Achsenabschnitt
- b=0 : Ursprungsgerade, geht durch den P(0|0)
- m=0 : Parallele zur x-Achse
Um eine Geradengleichung zu bestimmen muss man die
Koeffizienten m und b berechnen. |
Steigung m
Die Steigung bei Funktionen wird im Prinzip definiert
wie im Straßenbau:
12% bedeutet 12/100, also 12 m Steigung auf 100 m (über
Grund - also auf der Landkarte - und nicht gefahrene
Strecke, die wäre, wie mit Pythagoras leicht nachzurechnen
länger!).
Steigung = (Höhendifferenz) : (Längendifferenz)
Die Übertragung auf eine Gerade finden Sie unten:
(Das farblich markierte Dreieck heißt Steigungsdreieck)
Nehmen wir mal als Beispiel P1(-1|2) und
P2(7|6)
Dann gilt: m = (6-2) : (7-(-1)) = 4 : 8 = 0,5 = 1/2 |
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| Ich höre |
schon alle aufheulen: das ist doch gar
nicht die Funktionsgleichung, das ist doch der Funktionsterm.
Stimmt.
Aber hilft die subtile Unterscheidung beim Verständnis
der Aufgaben? |
| Hilfen |
| Javascriptseite;
Eingabe von Punkten bzw. Punkt und m/b liefert die Funktionsgleichung.
.. |
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y-Achsenabschnitt b
Bleibt der y-Achsenabschnitt.
Bisher wissen wir, dass die Gleichung der Geraden lautet:
f(x) = 0,5 · x + b
Wir setzen nun einen der beiden Punkte in die Gleichung
ein.
Nehmen wir mal P2(7|6), also x = 7 und y
= f(x) = 6.
Dann folgt:
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6 = 0,5 · 7 + b |
| <=> |
6 = 3,5 + b |
| <=> |
b = 2,5 |
Also: f(x) = 0,5 · x + 2,5 Und
fertig.
Bekommt man als Vorgabe statt zweier Punkte einen Punkt
und die Steigung bzw. einen Punkt und den y-Achsenabschnitt,
vereinfacht sich die Rechnung. |
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| Anderer Punkt |
Das dient nur zur Probe.
Da muss das selbe rauskommen.
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| P1(-1|2) -> |
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2=0,5·(-1)+b |
| <=> |
2= -0,5+b |
| <=> |
b=2,5 |
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klar! |
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