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Lineare Funktionen - Die Gleichung

f(x) = m · x + b

Zunächst gilt:
    Eine Funktion f heißt lineare Funktion
<=> die Funktionsgleichung lautet f(x) = m · x + b
Der Funktionsgraph einer linearen Funktion heißt Gerade.

Bemerkungen:

  • m: Steigung
  • b: y-Achsenabschnitt
  • b=0 : Ursprungsgerade, geht durch den P(0|0)
  • m=0 : Parallele zur x-Achse

Um eine Geradengleichung zu bestimmen muss man die Koeffizienten m und b berechnen.

Steigung m

Die Steigung bei Funktionen wird im Prinzip definiert wie im Straßenbau:
12% bedeutet 12/100, also 12 m Steigung auf 100 m (über Grund - also auf der Landkarte - und nicht gefahrene Strecke, die wäre, wie mit Pythagoras leicht nachzurechnen länger!).

Steigung = (Höhendifferenz) : (Längendifferenz)

Die Übertragung auf eine Gerade finden Sie unten:
(Das farblich markierte Dreieck heißt Steigungsdreieck)

Nehmen wir mal als Beispiel P1(-1|2) und P2(7|6)

Dann gilt: m = (6-2) : (7-(-1)) = 4 : 8 = 0,5 = 1/2

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Ich höre
schon alle aufheulen: das ist doch gar nicht die Funktionsgleichung, das ist doch der Funktionsterm.

Stimmt.

Aber hilft die subtile Unterscheidung beim Verständnis der Aufgaben?
Hilfen
Javascriptseite; Eingabe von Punkten bzw. Punkt und m/b liefert die Funktionsgleichung. ..

y-Achsenabschnitt b

Bleibt der y-Achsenabschnitt.
Bisher wissen wir, dass die Gleichung der Geraden lautet:
f(x) = 0,5 · x + b

Wir setzen nun einen der beiden Punkte in die Gleichung ein.
Nehmen wir mal P2(7|6), also x = 7 und y = f(x) = 6.
Dann folgt:

  6 = 0,5 · 7 + b
<=>   6 = 3,5 + b
<=>   b = 2,5

Also: f(x) = 0,5 · x + 2,5             Und fertig.

Bekommt man als Vorgabe statt zweier Punkte einen Punkt und die Steigung bzw. einen Punkt und den y-Achsenabschnitt, vereinfacht sich die Rechnung.

 Anderer Punkt
Das dient nur zur Probe. Da muss das selbe rauskommen.
 
P1(-1|2)  ->
  2=0,5·(-1)+b
<=> 2= -0,5+b
<=> b=2,5
  klar!
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l.up: 05.01.2003 Quelle: service.aabdahl.de