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Das Newton-Verfahren

Nicht immer sind die zu bestimmenden Nullstellen von ganzrationalen Funktionen ganzzahlig, so dass man mit der Polynomdivision nicht sinnvoll arbeiten kann. Erst recht gilt dies, wenn man Nullstellen von nichtrationalen Funktionen wie Exponentialfunktionen oder trigonometrischen Funktionen sucht.

Man muss die Nullstellen in diesem Fall näherungsweise bestimmen; ein elegantes und sehr effektives Verfahren hierzu ist das

Newtonsche Näherungsverfahren.

Man geht bei diesem Verfahren davon aus, dass ein Intervall [a;b] bekannt ist, in dem die gesuchte Nullstelle x* liegt. Man wählt nun eine geeignete Intervallgrenze als erste Näherung und damit als Startstelle x1 für das Verfahren; im Beispiel ist es b.

Betrachtet man nun das grau unterlegte Steigungsdreieck, so ist die Steigung der darin enthaltenen Tangente t1 gleich der Steigung des Graphen von f in P1 und damit gilt:

m = f '(x1).

Durch Umformen erhält man nun die gegenüber x1 verbesserte Näherung x2

 
 

Die Umformungen rechts sollten leicht nachvollziehbar sein.

Der Zähler in der ersten Zeile vereinfacht sich erfreulich:
es gilt t(x1) = f(x1) und
der Punkt auf der Tangente mit der x-Koordinate x2 gleichzeitig auf der x-Achse liegt, gilt t(x2) = 0.

Zu unserer Freude vereinfachen sich dadurch die weiteren Umformungen erheblich.

Durch Wiederholung des Verfahrens gelangt man zu den weiteren Näherungen x3, x4, ...
(siehe kleiner Kasten rechts)










Die nächsten Schritte


Das gelbe Steigungs- dreieck führt zu x3,

das rote zu x4 und so weiter.

Allgemein ist die Formel für den n-ten Schritt des Verfahrens :
(x1 ist der Startwert, der erste Schritt liefert x2!)
 

Bemerkung zum Begriff „geeignete Startstelle“

In ungünstigen Fällen schneidet die Tangente t1 die x-Achse außerhalb des Intervalls [a;b].

Hier ist der Graph linksgekrümmt und der Funktionswert der Startstelle ist kleiner als Null.

Die Tangente schneidet die x-Achse außerhalb des Intervalls [a;b]

Hier ist der Graph rechtsgekrümmt und der Funktionswert der Startstelle ist größer als Null.

Die Tangente schneidet die x-Achse wieder außerhalb des Intervalls [a;b]

In den beiden Fällen gilt aber    f(x1) · f''(x1) < 0

Überprüft man die Startstelle darauf, ob diese Bedingung erfüllt ist, beobachtet man fast immer, dass sich die Näherungswerte in einer Richtung der Stelle x* nähern.

Kleine Helfer
Eine Javascript-Seite:
Formel eingeben, die Näherungswerte werden ausgegeben.
Gut zur Kontrolle der eigenen Rechnung.
*.pdf / *.sdw
*.pdf (bei Gelegenheit)
*.sdw (Staroffice) <da

(rechte maus > ziel speichern unter)
 Präzision
Die Bedingung ist nicht wirklich ausreichend für die Konvergenz des Verfahrens.
So können u.a. Wendestellen in [a;b] Schwierigkeiten bereiten.

 

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l.up: 26.01.2003 Quelle: service.aabdahl.de